Respuesta de Frecuencia del Filtro Promedio Corriente La respuesta de frecuencia de un sistema LTI es la DTFT de la respuesta de impulso. La respuesta de impulso de un promedio móvil de L-muestra es. Dado que el filtro de media móvil es FIR, la respuesta de frecuencia se reduce a la suma finita We Puede utilizar la identidad muy útil para escribir la respuesta de frecuencia como donde hemos dejado ae - j 119. N 0 y M L - 1. Podemos estar interesados en la magnitud de esta función para determinar qué frecuencias pasan a través del filtro sin atenuación y cuáles son atenuadas. A continuación se muestra un gráfico de la magnitud de esta función para L 4 (rojo), 8 (verde), y 16 (azul). El eje horizontal oscila entre cero y 112 radianes por muestra. Nótese que en los tres casos, la respuesta de frecuencia tiene una característica de paso bajo. Un componente constante (frecuencia cero) en la entrada pasa a través del filtro sin atenuar. Ciertas frecuencias más altas, como 112/2, son completamente eliminadas por el filtro. Sin embargo, si la intención era diseñar un filtro de paso bajo, entonces no hemos hecho muy bien. Algunas de las frecuencias más altas se atenúan solamente por un factor de alrededor de un décimo (para la media móvil de 16 puntos) o 1/3 (para la media móvil de cuatro puntos). Podemos hacer mucho mejor que eso. La gráfica anterior se creó mediante el siguiente código Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) diagrama (omega (0, pi, 0, 1) Respuesta de Frecuencia del Filtro Promedio Corriente La respuesta de frecuencia de un sistema LTI es la DTFT de la respuesta de impulso, La respuesta de impulso de Una media móvil L-media es Como el filtro de media móvil es FIR, la respuesta de frecuencia se reduce a la suma finita Podemos utilizar la identidad muy útil para escribir la respuesta de frecuencia como donde hemos dejado ae menos jomega. N 0, y M L menos 1. Nos puede estar interesado en la magnitud de esta función con el fin de determinar qué frecuencias conseguir a través del filtro no atenuado y que están atenuados. A continuación se muestra un gráfico de la magnitud de esta función para L 4 (rojo), 8 (verde), y 16 (azul). El eje horizontal varía de cero a pi radianes por muestra. Nótese que en los tres casos, la respuesta de frecuencia tiene una característica de paso bajo. Un componente constante (frecuencia cero) en la entrada pasa a través del filtro sin atenuar. Ciertas frecuencias más altas, tales como pi / 2, son completamente eliminados por el filtro. Sin embargo, si la intención era diseñar un filtro de paso bajo, entonces no hemos hecho muy bien. Algunas de las frecuencias más altas se atenúan solamente por un factor de alrededor de un décimo (para la media móvil de 16 puntos) o 1/3 (para la media móvil de cuatro puntos). Podemos hacer mucho mejor que eso. La gráfica anterior se creó mediante el siguiente código Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) diagrama (omega , Abs (H4) abs (H8) abs (H16)) eje (0, pi, 0, 1) Copia de copyright 2000- - Universidad de California, BerkeleyDocumentación freqz Coeficientes de función de transferencia, especificados como vectores. Expresar la función de transferencia en términos de b y a como H (ej x03C9) B (ej x03C9) A (ej x03C9) b (1) b (2) x2009 e x2212 j x03C9 b (3) x2009 e x2212 j 2 x03C9 x22EF B (M) x2009 e x2212 j (M x 2212 1) x03C9 a (1) a (2) x2009 e x2212 j x03C9 a (3) x2009 e x2212 j 2 x03C9 x22EF a (N) x2009 e x2212 j (N x2212 1 ) X03C9. Ejemplo: b 1 3 3 1/6 y un 3 0 1 0/3 especifican un filtro Butterworth de tercer orden con una frecuencia normalizada de 3 dB 0,5960 rad / muestra. Tipos de datos: doble único Número Complejo Apoyo: Sí n 8212 Número de puntos de evaluación 512 (por defecto) número entero positivo escalar Número de puntos de evaluación, especificado como un entero positivo escalar no menor que 2. Cuando n está ausente, el valor por defecto es 512. Para Mejores resultados, ajuste n a un valor mayor que la orden del filtro. Sos 8212 Matriz de coeficientes de sección de segundo orden Coeficientes de sección de segundo orden, especificada como matriz. Sos es una matriz K-by-6, donde el número de secciones, K. Debe ser mayor o igual a 2. Si el número de secciones es menor que 2, freqz considera que la entrada es un vector numerador. Cada fila de sos corresponde a los coeficientes de un filtro de segundo orden (biquad). La i-ésima fila de sos corresponde a bi (1) bi (2) bi (3) ai (1) ai (2) ai (3). Ejemplo: s 2 4 2 6 0 23 3 0 6 0 0 especifica un filtro Butterworth de tercer orden con una frecuencia normalizada de 3 dB 0,5960 rad / muestra. Tipos de datos: doble único Soporte de número complejo: Sí d 8212 Filtro digital digitalFiltro objeto Filtro digital, especificado como un objeto digitalFilter. Use designfilt para generar un filtro digital basado en especificaciones de respuesta de frecuencia. Ejemplo: d designfilt (lowpassiir, FilterOrder, 3, HalfPowerFrequency, 0.5) especifica un filtro Butterworth de tercer orden con una frecuencia normalizada de 3 dB 0,5960 rad / muestra. Fs 8212 Frecuencia de muestreo positiva escalar Seleccione su país Necesito diseñar un filtro de media móvil que tenga una frecuencia de corte de 7,8 Hz. He utilizado en movimiento filtros promedio antes, pero por lo que estoy al tanto, el único parámetro que puede ser alimentado en es el número de puntos de promediarse. Cómo puede relacionarse con una frecuencia de corte La inversa de 7,8 Hz es de 130 ms, y estoy trabajando con los datos que se muestrean a 1000 Hz. Esto implica que deberíamos estar usando un tamaño de ventana filtro de media móvil de 130 muestras, o hay alguna otra cosa que falta aquí Im preguntó Jul 18 de 13 a las 09:52 El filtro de media móvil es el filtro utilizado en el dominio del tiempo para eliminar el ruido añadido y también para suavizar propósito, pero si se utiliza el mismo filtro de media móvil en el dominio de la frecuencia para la separación de frecuencias a continuación, el rendimiento será peor. así que en ese caso la frecuencia de uso de filtros de dominio ndash user19373 Feb 3 en el 5:53 El filtro de media móvil (a veces conocido coloquialmente como un filtro vagón) tiene una respuesta de impulso rectangular: O, dicho de otra forma: Si recordamos que una respuesta de frecuencia de sistemas de tiempo discreto es igual al tiempo transformada discreta de Fourier de su respuesta al impulso, podemos calcular de la siguiente manera: Cuáles fueron los más interesados en su caso es de la magnitud de la respuesta del filtro, H (omega). El uso de un par de manipulaciones simples, podemos conseguir que en una forma más fácil de comprehend: Esto puede no parecer más fácil de entender. Sin embargo, debido a la identidad Eulers. recordar que: Por lo tanto, podemos escribir lo anterior como: Como he dicho antes, lo que usted está realmente preocupa es la magnitud de la respuesta de frecuencia. Por lo tanto, podemos tomar la magnitud de los anteriores para simplificar aún más: Nota: Estamos en condiciones de soltar los términos exponenciales porque ellos no afecta a la magnitud del resultado e 1 para todos los valores de omega. Desde xy xy para cualquier par de números complejos finitos x e y, se puede concluir que la presencia de los términos exponenciales dont afecta a la magnitud de respuesta global (en vez, afectan a la respuesta de fase de los sistemas). La función resultante dentro de los corchetes de magnitud es una forma de un núcleo de Dirichlet. A veces se llama una función sinc periódica, porque se asemeja a la función sinc algo en apariencia, pero es periódico en su lugar. De todos modos, ya que la definición de la frecuencia de corte se underspecified un poco (punto -3 dB -6 dB punto de primer nulo lóbulo lateral), puede utilizar la ecuación anterior para resolver para lo que necesite. En concreto, puede hacer lo siguiente: Set H (omega) para el valor correspondiente a la respuesta del filtro que desea en la frecuencia de corte. Conjunto omega igual a la frecuencia de corte. Para asignar una frecuencia de tiempo continuo en el dominio del tiempo discreto, recuerda que frac omega 2 pi, donde fs es la frecuencia de muestreo. Encontrar el valor de N que proporciona la mejor acuerdo entre las partes de la mano izquierda y derecha de la ecuación. Esa debería ser la longitud de su media móvil. Si N es la longitud de la media móvil, entonces una frecuencia F de corte aproximada (válido para N gt 2) en la frecuencia normalizada Ff / fs es: La inversa de esta es Esta fórmula es asintóticamente correcta para N grande, y tiene alrededor de 2 error de N2, y menos de 0,5 para N4. PD Después de dos años, aquí, finalmente, cuál fue el método seguido. El resultado se basa en la aproximación de la espectro de amplitud MA alrededor f0 como una parábola (segundo orden de la serie) de acuerdo con MA (Omega) aprox 1 (frac - frac) Omega2 que puede hacerse más exacta cerca del cruce por cero de MA (Omega) - frac multiplicando Omega por un coeficiente de la obtención de MA (Omega) aprox 10.907523 (frac - frac) Omega2 La solución de MA (Omega) - frac 0 da los resultados de arriba, donde 2pi F Omega. Todo lo anterior se refiere a la 3dB frecuencia de corte, el tema de este post. Aunque a veces es interesante para obtener un perfil de atenuación en banda de rechazo que es comparable con el de una primera orden IIR filtro de paso bajo (LPF solo polo) con un dado -3dB frecuencia de corte (por ejemplo, un LPF es también llamado integrador con fugas, que tiene un poste no exactamente en DC, pero cerca de ella). De hecho, tanto el MA y la primera orden IIR LPF tienen -20dB / pendiente década en la banda de parada (uno necesita un N más grande que el utilizado en la figura, N32, para ver este), pero mientras que MA tiene nulos espectrales a Fk / N y una evelope 1 / f, el filtro IIR solamente tiene un perfil 1 / f. Si se desea obtener un filtro de MA con capacidades de filtrado de ruido similares a los de este filtro IIR, y coincide con el 3dB limitar las frecuencias que ser el mismo, al comparar los dos espectros, se daría cuenta de que la ondulación de la banda de rechazo del filtro MA termina 3 dB inferior a la del filtro IIR. Con el fin de obtener la misma ondulación de banda de supresión (es decir, mismo ruido atenuación de potencia) como el IIR filtran las fórmulas se pueden modificar de la siguiente manera: He encontrado de nuevo la secuencia de comandos de Mathematica, donde he calculado el punto de corte para varios filtros, incluido el MA. El resultado se basa en aproximar el espectro MA alrededor f0 como una parábola de acuerdo con MA (Omega) Sin (Omegas / 2) / Sin (Omega / 2) Omega 2piF MA (F) aprox N1 / 6F2 (N-N3) PI2. Y derivando el cruce con 1 / sqrt desde allí. Ndash Massimo Jan 17 a las 2:08 Filtros FIR, filtros IIR y la ecuación de diferencia de coeficientes constantes lineales Filtros de media móvil causal (FIR) Hemos discutido sistemas en los que cada muestra de la salida es una suma ponderada de (algunas de las) muestras De la entrada. Vamos a echar un sistema de suma ponderada causal, donde significa causal que una muestra de salida dada depende solamente de la muestra de entrada actual y otras entradas anteriores en la secuencia. Ni los sistemas lineales en los sistemas generales, ni de respuesta impulsional finita, en particular, necesitan ser causal. Sin embargo, la causalidad es conveniente para un tipo de análisis que se va a explorar pronto. Si simbolizamos los parámetros en función de los valores de un vector x. y las salidas como valores de un vector y correspondiente. a continuación, un sistema de este tipo se puede escribir como donde los valores b se aplican quotweightsquot a las muestras de entrada actuales y anteriores para obtener la muestra de salida actual. Podemos pensar en la expresión como una ecuación, con el signo igual iguales que significa, o como una instrucción de procedimiento, con el signo igual significa asignación. Le permite escribir la expresión para cada muestra de salida como un bucle MATLAB de instrucciones de asignación, donde x es un vector de N-longitud de muestras de entrada, y b es un vector M-longitud de pesos. Con el fin de tratar el caso especial en el inicio, vamos a incrustar x en un vector de xhat ya cuyo primer M-1 muestras son iguales a cero. Vamos a escribir la suma ponderada para cada y (n) como un producto interno, y haremos algunas manipulaciones de las entradas (como revertir b) para este fin. Este tipo de sistema se suele denominar un filtro de media móvil, por razones obvias. De nuestras discusiones anteriores, debería ser obvio que un sistema de este tipo es lineal y el desplazamiento invariante. Por supuesto, sería mucho más rápido para utilizar la función de convolución conv MATLAB () en lugar de nuestra mafilt (). En lugar de considerar los primeros M-1 muestras de la entrada a ser cero, se podría pensar en ellos para ser el mismo que los últimos M-1 muestras. Este es el mismo que el tratamiento de la entrada como periódica. Así utilizar cmafilt () como el nombre de la función, una pequeña modificación de la anterior mafilt función (). En la determinación de la respuesta al impulso de un sistema, generalmente no hay diferencia entre estos dos, ya que todas las muestras no iniciales de la entrada son cero: Puesto que un sistema de este tipo es lineal y Shift-invariante, sabemos que su efecto sobre cualquier sinusoide será sólo a escala y desplazarlo. Aquí lo importante es que usamos la versión circular la versión circularmente convolución se desplaza y se escala un poco, mientras que la versión con convolución ordinaria se distorsiona al inicio. Vamos a ver lo que la escala exacta y el cambio es mediante el uso de una FFT: Tanto la entrada y salida tienen amplitud solamente en las frecuencias 1 y -1, que es como debe ser, dado que la entrada era una sinusoide y el sistema fue lineal. Los valores de salida son mayores en una proporción de 10.6251 / 8 1,3281. Esta es la ganancia del sistema. Qué pasa con la fase Tan sólo hay que mirar donde la amplitud es distinto de cero: La entrada tiene una fase de pi / 2, ya que habíamos solicitado. La fase de salida se desplaza por un adicional de 1,0594 (con signo contrario para la frecuencia negativa), o aproximadamente 1/6 de un ciclo a la derecha, como podemos ver en el gráfico. Ahora vamos a probar una sinusoide con la misma frecuencia (1), pero en lugar de amplitud 1 y PI / fase 2, vamos a tratar de amplitud y fase 1.5 0. Sabemos que sólo la frecuencia de 1 y -1 tendrán amplitud distinta de cero, por lo que permite simplemente mirarlos: Una vez más la relación de amplitud (15.9377 / 12.0000) es 1,3281 - y en cuanto a la fase de nuevo se cambió por 1,0594 Si estos ejemplos son típicos, podemos predecir el efecto de nuestro sistema (respuesta de impulso 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5) en cualquier sinusoidal con una frecuencia 1 - la amplitud se incrementará en un factor de 1,3281 y la fase (frecuencia positiva) será desplazado por 1.0594. Podríamos seguir para calcular el efecto de este sistema de sinusoides de otras frecuencias mediante los mismos métodos. Pero hay una manera mucho más sencilla, y uno que establece el punto general. Desde convolución (circular) en el dominio del tiempo significa la multiplicación en el dominio de la frecuencia, de ella se deduce que En otras palabras, la DFT de la respuesta de impulso es la relación de la DFT de la salida de la DFT de la entrada. En esta relación los coeficientes DFT son números complejos. Desde abs (c1 / c2) abs (c1) / abs (c2) para todos los números c1 complejos, c2, esta ecuación nos dice que el espectro de amplitud de la respuesta al impulso será siempre la relación del espectro de amplitud de la salida a la de la entrada. En el caso del espectro de fase, el ángulo (c1 / c2) ángulo (c1) - ángulo (c2) para todos c1, c2 (con la condición de que las fases que difieren en n2pi se consideran iguales). Por tanto, el espectro de fase de la respuesta de impulsos siempre será la diferencia entre los espectros de fase de la salida y la entrada (con lo que las correcciones por 2pi son necesarios para mantener el resultado entre - pi y pi). Podemos ver los efectos de fase más claramente si desenvuelva la representación de fase, es decir, si añadimos varios múltiplos de 2pi según sea necesario para minimizar los saltos que son producidos por la naturaleza periódica de la función de ángulo (). A pesar de la amplitud y la fase se utilizan generalmente para la presentación gráfica e incluso de tabla, ya que son una forma intuitiva de pensar acerca de los efectos de un sistema sobre los distintos componentes de frecuencia de su entrada, los coeficientes de Fourier complejos son más útiles algebraica, ya que permiten la simple expresión de la relación el enfoque general que acabamos de ver trabajará con filtros arbitrarios del tipo esbozado, en el que cada muestra de salida es una suma ponderada de un conjunto de muestras de entrada. Como se mencionó anteriormente, estos son a menudo llamados filtros de respuesta de impulso finito, porque la respuesta al impulso es de tamaño finito, o, a veces en movimiento filtros Promedio. Podemos determinar las características de respuesta de frecuencia de un filtro de este tipo a partir de la FFT de su respuesta al impulso, y también podemos diseñar nuevos filtros con características deseadas por IFFT a partir de una especificación de la respuesta de frecuencia. Autorregresivo (IIR) Filtros Habría mucho sentido tener nombres para filtros FIR a menos que hubiera algún otro tipo (s) para distinguirlos de, y por lo tanto los que han estudiado la pragmática no se sorprenda al saber que efectivamente existe otra clase importante del filtro invariante en el tiempo lineal. Estos filtros se llaman a veces recursivo ya que las cuestiones del valor de los productos anteriores (así como las entradas anteriores), aunque los algoritmos son generalmente escritos utilizando construcciones iterativas. También se llaman filtros de respuesta al impulso infinita (IIR), porque en general su respuesta a un impulso continúa para siempre. También se denominan a veces filtros autorregresivos, debido a que los coeficientes pueden ser considerados como el resultado de hacer la regresión lineal para expresar los valores de señal como una función de valores de la señal anteriores. La relación de los filtros FIR e IIR se puede ver claramente en una ecuación de diferencia-coeficiente lineal constante, es decir, el establecimiento de una suma ponderada de salidas igual a una suma ponderada de las entradas. Esto es como la ecuación que dio anteriormente para el filtro FIR causal, excepto que, además de la suma ponderada de las entradas, también tenemos una suma ponderada de las salidas. Si queremos pensar en esto como un procedimiento para la generación de muestras de salida, tenemos que reorganizar la ecuación para obtener una expresión para la muestra y la salida de corriente (n), la adopción de la convención de que un (1) 1 (por ejemplo, mediante la ampliación a otros como y BS), que pueden deshacerse de la 1 / a (1) término: y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). b (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - A (Na1) y (n-na) Si todos los a (n) que no sea un (1) son cero, esto se reduce a nuestro viejo amigo el filtro FIR causal. Este es el caso general de un (causal) filtro LTI, y se implementa por el filtro de la función MATLAB. Veamos el caso de que los b coeficientes distintos de b (1) son iguales a cero (en lugar de la caja de la FIR, en el que un (n) son cero): En este caso, la muestra y la salida de corriente (n) se calcula como una combinación ponderada de la muestra de entrada actual x (n) y las anteriores muestras de salida y (n-1), y (n-2), etc. Para tener una idea de lo que sucede con este tipo de filtros, vamos a empezar con el caso en: es decir, la muestra de salida actual es la suma de la muestra de entrada actual y la mitad de la muestra de salida anterior. Así tener un impulso de entrada a través de unos pasos de tiempo, uno a la vez. Debe quedar claro en este punto que podemos escribir fácilmente una expresión para el valor de la muestra de salida enésimo: es simplemente (Si MATLAB cuenta a partir de 0, esto sería simplemente .5n). Dado que lo que estamos calculando es la respuesta de impulso del sistema, hemos demostrado por ejemplo que la respuesta de impulso de hecho puede tener un número infinito de muestras que no son cero. Para implementar este filtro de primer orden trivial en MATLAB, podríamos usar filtro. La llamada se verá así: y el resultado es: Es este negocio realmente todavía lineales Podemos mirar esta manera empírica: Para un enfoque más general, tenga en cuenta el valor de una muestra de salida y (n). Por sustitución sucesiva podríamos escribir esto como Esto es igual que nuestro viejo amigo el formulario de convolución suma de un filtro FIR, con la respuesta al impulso proporcionado por el .5k expresión. y la longitud de la respuesta al impulso es infinito. Así, los mismos argumentos que hemos utilizado para demostrar que los filtros FIR fueron lineales se aplicará ahora aquí. Hasta el momento esto puede parecer como un montón de alboroto por no mucho. Qué es toda esta línea de investigación para la buena Bueno responder a esta pregunta en etapas, comenzando con un ejemplo. No es una gran sorpresa que podemos calcular una multiplicación exponencial muestreada por recursiva. Veamos un filtro recursivo que hace algo menos obvio. Esta vez también lo convierten en un filtro de segundo orden, para que la llamada al filtro será de la forma Permite establecer el segundo coeficiente de salida a2 a -2cos (2 pi / 40), y el tercer coeficiente a3 salida a 1, y mira la respuesta de impulso. No muy útil como filtro, en realidad, pero genera una onda sinusoidal muestreada (de un impulso) con tres multiplicaciones por muestra. Para entender cómo y por qué lo hace, y cómo se pueden diseñar y analizar los filtros recursivos en El caso más general, tenemos que dar un paso atrás y echar un vistazo a algunas otras propiedades de los números complejos, en el camino a la comprensión de la transformación z.
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